Cálculo I

Gráficos de funciones

Los gráficos de funciones básicas, exponenciales y logarítmicas son:

Derivadas

La derivada de una función $f$ en un número $x = a$, denotada por $f'(a)$, es

$$f^{\prime}(a) = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

si este límite existe.

A continuación se presentan las derivadas de las funciones más comunes:

Función	Derivada	Derivada con regla de la cadena
Potencia	$\frac{d}{d x}\left[x^n\right]=n x^{n-1}$	$\frac{d}{d x}\left[u^n\right]=n u^{n-1} \cdot u^{\prime}$
Exponencial (base $e$)	$\frac{d}{d x}\left[e^x\right]=e^x$	$\frac{d}{d x}\left[e^u\right]=e^u \cdot u^{\prime}$
Exponencial (base $a$)	$\frac{d}{d x}\left[a^x\right]=a^x \ln (a)$	$\frac{d}{d x}\left[a^u\right]=a^u \ln (a) \cdot u^{\prime}$
Logaritmo Natural	$\frac{d}{d x}[\ln (x)]=\frac{1}{x}$	$\frac{d}{d x}[\ln (u)]=\frac{1}{u} \cdot u^{\prime}$ o $\frac{u^{\prime}}{u}$
Logaritmo (base $a$)	$\frac{d}{d x}\left[\log _a(x)\right]=\frac{1}{x \cdot \ln (a)}$	$\frac{d}{d x}\left[\log _a(u)\right]=\frac{1}{u \cdot \ln (a)} \cdot u^{\prime}$
Seno	$\frac{d}{d x}[\sin (x)]=\cos (x)$	$\frac{d}{d x}[\sin u]=\cos (u) \cdot u^{\prime}$
Coseno	$\frac{d}{d x}[\cos (x)]=-\sin (x)$	$\frac{d}{d x}[\cos u]=-\sin (u) \cdot u^{\prime}$
Tangente	$\frac{d}{d x}[\tan (x)]=\sec ^2(x)$	$\frac{d}{d x}[\tan (u)]=\sec ^2(u) \cdot u^{\prime}$
Cosecante	$\frac{d}{d x}[\csc (x)]=-\csc (x) \cot (x)$	$\frac{d}{d x}[\csc (u)]=-\csc (u) \cot (u) \cdot u^{\prime}$
Secante	$\frac{d}{d x}[\sec (x)]=\sec (x) \tan (x)$	$\frac{d}{d x}[\sec (u)]=\sec (u) \tan (u) \cdot u^{\prime}$
Cotangente	$\frac{d}{d x}[\cot (x)]=-\csc ^2(x)$	$\frac{d}{d x}[\cot (u)]=-\csc ^2(u) \cdot u^{\prime}$
Arcoseno	$\frac{d}{d x} \sin ^{-1}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\frac{d}{d x} \sin ^{-1}(u)=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot u^{\prime}$
Arcocoseno	$\frac{d}{d x} \cos ^{-1}(x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\frac{d}{d x} \cos ^{-1}(u)=\frac{-1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot u^{\prime}$
Arcotangente	$\frac{d}{d x} \tan ^{-1}(x)=\frac{1}{1+x^2}$	$\frac{d}{d x} \tan ^{-1}(u)=\frac{1}{1+u^2} \cdot u^{\prime}$
Arcocosecante	$\frac{d}{d x} \csc ^{-1}(x)=\frac{-1}{\|x\| \sqrt{x^2-1}}$	$\frac{d}{d x} \csc ^{-1}(u)=\frac{-1}{\|u\| \sqrt{u^2-1}} \cdot u^{\prime}$
Arcosecante	$\frac{d}{d x} \sec ^{-1}(x)=\frac{1}{\|x\| \sqrt{x^2-1}}$	$\frac{d}{d x} \sec ^{-1}(u)=\frac{1}{\|u\| \sqrt{u^2-1}} \cdot u^{\prime}$
Arcocotangente	$\frac{d}{d x} \cot ^{-1}(x)=\frac{-1}{1+x^2}$	$\frac{d}{d x} \cot ^{-1}(u)=\frac{-1}{1+u^2} \cdot u^{\prime}$

Propiedades analíticas de los gráficos

Máximos y mínimos

Sea $c$ un número en el dominio $D$ de una función $f$. Entonces $f(c)$ es el:

• valor máximo absoluto de $f$ sobre $D$ si $f(c) \geqslant f(x)$ para toda $x$ en $D$.
• valor mínimo absoluto de $f$ sobre $D$ si $f(c) \leqslant f(x)$ para toda $x$ en $D$.

El número $f(c)$ es un:

• valor máximo local de $f$ si $f(c) \geqslant f(x)$ cuando $x$ está cerca de $c$.
• valor mínimo local de $f$ si $f(c) \leqslant f(x)$ cuando $x$ está cerca de $c$.

Teorema del valor extremo

Si $f$ es continua solve un intervalo cerrado $[a, b]$, entonces $f$ alcanza un valor máximo absoluto $f(c)$ y un valor minimo absoluto $f(d)$ en algunos números $c$ y $d$ en $[a, b]$.

Teorema del valor extremo

Teorema de Fermat

Si $f$ tiene un valor máximo o mínimo local en $c$, y si $f'(c)$ existe, entonces $f'(c) = 0$.

Teorema de Fermat

Números críticos

Un número crítico de una función $f$ es un número $c$ en el dominio de $f$ tal que $f'(c) = 0$ o $f'(c)$ no existe.

Método del intervalo cerrado

Para hallar los valores máximo y mínimo absolutos de una función continua $f$ sobre un intervalo cerrado $[a, b]$:

1. Encuentre los valores de $f$ en los números críticos de $f$ en $(a, b)$.
2. Halle los valores de $f$ en los puntos extremos del intervalo.
3. El más grande de los valores de los pasos 1 y 2 es el valor máximo absoluto; el más pequeño, el valor mínimo absoluto.

Ejemplo de método del intervalo cerrado

Teorema del valor medio

Si $f$ es una función que satisface las siguientes hipótesis:

1. $f$ es continua sobre el intervalo cerrado $[a, b]$
2. $f$ es derivable sobre el intervalo abierto $(a, b)$ entonces existe un número $x=c$ en $(a, b)$ tal que

$$f^{\prime}(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

o, equivalentemente,

$$f(b)-f(a)=f^{\prime}(c)(b-a)$$

Teorema del valor medio

Prueba de crecimiento y decrecimiento

• Si $f'(x) > 0$ para todo $x$ en un intervalo, entonces $f$ es creciente en ese intervalo.
• Si $f'(x) < 0$ para todo $x$ en un intervalo, entonces $f$ es decreciente en ese intervalo.

Prueba creciente/decreciente

Prueba de concavidad

• Si $f''(x) > 0$ para todo $x$ en un intervalo, entonces $f$ es cóncava hacia arriba en ese intervalo.
• Si $f''(x) < 0$ para todo $x$ en un intervalo, entonces $f$ es cóncava hacia abajo en ese intervalo.

Asíntotas

La recta $x=a$ se llama asíntota vertical de la curva $y=f(x)$ si al menos una de las siguientes afirmaciones son verdaderas:

$$\begin{array}{lll} \displaystyle{\lim _{x \rightarrow a} f(x)=\infty} & \displaystyle{\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=\infty} & \displaystyle{\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\infty} \\[20pt] \displaystyle{\lim _{x \rightarrow a} f(x)=-\infty} & \displaystyle{\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=-\infty} & \displaystyle{\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=-\infty} \end{array}$$

Asíntotas verticales

La recta $y=L$ se llama asíntota horizontal de la curva $y=f(x)$ si

$$\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=L \quad \text { o } \quad \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=L$$

Asíntotas horizontales

Algunas curvas tienen asíntotas que son oblicuas; esto es, no son horizontales ni verticales. Si

$$\lim _{x \rightarrow \infty}[f(x)-(m x+b)]=0$$

entonces la recta $y=m x+b$ se llama asíntota inclinada (oblicua).

Asíntotas oblicuas